Trigonométrie Exemples

$\sin (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x + \frac{π}{3} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π}{3}$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π - π \cdot 2}{6}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x = \frac{π - 2 π}{6}$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2 π$ de $π$ .

$2 x = \frac{- π}{6}$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x = - \frac{π}{6}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Étape 5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x + \frac{π}{3} = π - \frac{π}{6}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 6.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 6.1.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6}$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- \frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{5 π - π \cdot 2}{6}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x = \frac{5 π - 2 π}{6}$

Étape 6.2.5.2

Soustrayez $2 π$ de $5 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{6}$

Étape 6.2.6

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 6.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$2 x = \frac{3 (π)}{6}$

Étape 6.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$2 x = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Étape 6.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Étape 6.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (2 x + \frac{π}{3})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 8

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{12}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{12} + π$

Étape 8.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 8.3

Associez les fractions.

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Étape 8.3.1

Associez $π$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Déplacez $12$ à gauche de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Étape 8.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Étape 8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{12}$

Étape 9

La période de la fonction $\sin (2 x + \frac{π}{3})$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$