Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12}) = - \frac{1}{2}$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{11}{20} x + \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\frac{11}{20}$ et $x$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = - \frac{π}{6}$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Soustrayez $\frac{π}{12}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{6} - \frac{π}{12}$

Étape 4.2

Pour écrire $- \frac{π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{12}$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{12}$

Étape 4.3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{11 x}{20} = \frac{- π \cdot 2 - π}{12}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{- 2 π - π}{12}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $π$ de $- 2 π$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{- 3 π}{12}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 π$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{12}$

Étape 4.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{3 (4)}$

Étape 4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{3 \cdot 4}$

Étape 4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{11 x}{20} = \frac{- π}{4}$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{4}$

Étape 5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{20}{11}$ .

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Étape 6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Simplifiez $\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Étape 6.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Étape 6.1.1.2

Annulez le facteur commun de $11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1

Factorisez $11$ à partir de $11 x$ .

$\frac{1}{11} (11 (x)) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Étape 6.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Étape 6.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez $\frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

$x = \frac{20}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

Étape 6.2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{4 (5)}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

Étape 6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

Étape 6.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{11} (- π)$

Étape 6.2.1.2

Associez $\frac{5}{11}$ et $π$ .

$x = - \frac{5 π}{11}$

Étape 7

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 8.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = \frac{7 π}{6}$

Étape 8.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1

Soustrayez $\frac{π}{12}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π}{6} - \frac{π}{12}$

Étape 8.3.1.2

Pour écrire $\frac{7 π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{12}$

Étape 8.3.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.3.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{12}$

Étape 8.3.1.3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 8.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2 - π}{12}$

Étape 8.3.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.5.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{14 π - π}{12}$

Étape 8.3.1.5.2

Soustrayez $π$ de $14 π$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{13 π}{12}$

Étape 8.3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{20}{11}$ .

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Étape 8.3.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.1.1

Simplifiez $\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Étape 8.3.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Étape 8.3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.1.1.2.1

Factorisez $11$ à partir de $11 x$ .

$\frac{1}{11} (11 (x)) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Étape 8.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Étape 8.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Étape 8.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.2.1

Simplifiez $\frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{4 (5)}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Étape 8.3.3.2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{13 π}{4 \cdot 3}$

Étape 8.3.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{13 π}{4 \cdot 3}$

Étape 8.3.3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{11} \cdot \frac{13 π}{3}$

Étape 8.3.3.2.1.2

Multipliez $\frac{5}{11}$ par $\frac{13 π}{3}$ .

$x = \frac{5 (13 π)}{11 \cdot 3}$

Étape 8.3.3.2.1.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.2.1.3.1

Multipliez $13$ par $5$ .

$x = \frac{65 π}{11 \cdot 3}$

Étape 8.3.3.2.1.3.2

Multipliez $11$ par $3$ .

$x = \frac{65 π}{33}$

Étape 9

Déterminez la période de $\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $\frac{11}{20}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{11}{20} |}$

Étape 9.3

$\frac{11}{20}$ est d’environ $0.55$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{11}{20}}$

Étape 9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{20}{11}$

Étape 9.5

Multipliez $2 π \frac{20}{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1

Associez $\frac{20}{11}$ et $2$ .

$\frac{20 \cdot 2}{11} π$

Étape 9.5.2

Multipliez $20$ par $2$ .

$\frac{40}{11} π$

Étape 9.5.3

Associez $\frac{40}{11}$ et $π$ .

$\frac{40 π}{11}$

Étape 10

Ajoutez $\frac{40 π}{11}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Ajoutez $\frac{40 π}{11}$ à $- \frac{5 π}{11}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{5 π}{11} + \frac{40 π}{11}$

Étape 10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{40 π - 5 π}{11}$

Étape 10.3

Soustrayez $5 π$ de $40 π$ .

$\frac{35 π}{11}$

Étape 10.4

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{35 π}{11}$

Étape 11

La période de la fonction $\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12})$ est $\frac{40 π}{11}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{40 π}{11}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{65 π}{33} + \frac{40 π n}{11}, \frac{35 π}{11} + \frac{40 π n}{11}$ , pour tout entier $n$