Trigonométrie Exemples

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\cot (x) - \tan (x)$ .

$\tan (2 x) (\cot (x) - \tan (x)) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)} (\cot (x) - \tan (x))$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $\tan (2 x) (\cot (x) - \tan (x))$ .

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (2 x) \cot (x) + \tan (2 x) (- \tan (x)) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)} (\cot (x) - \tan (x))$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\tan (2 x) \cot (x) - \tan (2 x) \tan (x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)} (\cot (x) - \tan (x))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $\cot (x) - \tan (x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (2 x) \cot (x) - \tan (2 x) \tan (x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)} (\cot (x) - \tan (x))$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (2 x) \cot (x) - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cot (x) - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x) \cos (x)}{\cos (2 x) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1.4.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{\cos (2 x) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.4.2

Associez les exposants.

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Étape 3.1.1.4.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\cos (2 x) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.4.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\cos (2 x) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (2 x) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos (2 x) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.5

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.7

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \tan (2 x) \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.8

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \tan (x) = 2$

Étape 3.1.1.9

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 2$

Étape 3.1.1.10

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (x) \sin (2 x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2$

Étape 3.1.1.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1.11.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2$

Étape 3.1.1.11.2

Associez les exposants.

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Étape 3.1.1.11.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2$

Étape 3.1.1.11.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2$

Étape 3.1.1.11.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2$

Étape 3.1.1.11.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2$

Étape 3.1.1.12

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)} = 2$

Étape 3.1.1.13

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.1.1.13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)} = 2$

Étape 3.1.1.13.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{2} (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1} = 2$

Étape 3.1.1.14

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)} = 2$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x) (\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)}) = \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) \frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)}) = \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $\cos (2 x)$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 x) \frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)}) = \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (2 x) (- \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)}) = \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cos^{2} (x) - \cos (2 x) \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)} = \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 3.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun de $\cos (2 x)$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $- \cos (2 x)$ .

$2 \cos^{2} (x) + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)} = \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 3.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (2 x)} = \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 3.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cos^{2} (x) - (2 \sin^{2} (x)) = \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) = \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 3.7

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) = 2 \cos (2 x)$

Étape 3.8

Soustrayez $2 \cos (2 x)$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (2 x) = 0$

Étape 3.9

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.10

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.10.1

Simplifiez $2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

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Étape 3.10.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.10.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.10.1.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.10.1.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.10.1.1.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.10.1.1.2.1

Déplacez $- 2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.10.1.1.2.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos^{2} (x)$ et $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.10.1.1.2.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$- 2 (1) + 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.10.1.1.2.4

Factorisez $- 2$ à partir de $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.10.1.1.2.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.10.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.10.1.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.10.1.3.1

Soustrayez $2 \sin^{2} (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.10.1.3.2

Additionnez $- 4 \sin^{2} (x)$ et $4 \sin^{2} (x)$ .

$0 = 0$

Étape 3.11

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$