Trigonométrie Exemples

$\cos (2 x) - \cos (6 x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (6 x) = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (2 (3 x)) = 0$

Étape 1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1

Utilisez l’identité d’angle triple pour transformer $\cos (3 x)$ en $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 {(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2} - 1) = 0$

Étape 1.1.3.2

Réécrivez ${(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2}$ comme $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 ((4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.3

Développez $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 \cos^{3} (x) \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.2

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $\cos^{3} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.4.1.2.1

Déplacez $\cos^{3} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 (\cos^{3} (x) \cos^{3} (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 {\cos (x)}^{3 + 3}) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.2.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 \cos^{6} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.4

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.4.1.4.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.4.2

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{3} (x)$ .

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Étape 1.1.3.4.1.4.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 3} \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{4} (x) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.5

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.6

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{3} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.4.1.6.1

Déplacez $\cos^{3} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.6.2

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 1.1.3.4.1.6.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 {\cos (x)}^{3 + 1} \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos^{4} (x) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.7

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.8

Multipliez $- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))$ .

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Étape 1.1.3.4.1.8.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos (x) \cos (x)) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.8.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos (x) \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.8.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos (x) \cos (x))) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 {\cos (x)}^{1 + 1}) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.4.2

Soustrayez $12 \cos^{4} (x)$ de $- 12 \cos^{4} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 24 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x)) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez

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Étape 1.1.3.6.1

Multipliez $16$ par $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.6.2

Multipliez $- 24$ par $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Étape 1.1.3.6.3

Multipliez $9$ par $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x)) - (- 48 \cos^{4} (x)) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $32$ par $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) - (- 48 \cos^{4} (x)) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Étape 1.1.5.2

Multipliez $- 48$ par $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Étape 1.1.5.3

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Étape 1.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.2.1

Associez les termes opposés dans $2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1$ .

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Étape 1.2.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 0 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 1.2.1.2

Additionnez $2 \cos^{2} (x)$ et $0$ .

$2 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $18 \cos^{2} (x)$ de $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $16 \cos^{2} (x)$ à partir de $- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x)$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $16 \cos^{2} (x)$ à partir de $- 16 \cos^{2} (x)$ .

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $16 \cos^{2} (x)$ à partir de $- 32 \cos^{6} (x)$ .

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x)) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $16 \cos^{2} (x)$ à partir de $48 \cos^{4} (x)$ .

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $16 \cos^{2} (x)$ à partir de $16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x))$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $16 \cos^{2} (x)$ à partir de $16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x))$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 2 \cdot - 1 = 2$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cos^{2} (x)$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $3$ comme $1$ plus $2$

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + (1 + 2) \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 1 \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.2.4

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$16 \cos^{2} (x) (\cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) - (- 2 \cos^{2} (x) + 1)) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ .

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Étape 2.4

Factorisez.

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Étape 2.4.1

Factorisez.

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Étape 2.4.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = 1$ .

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

Étape 2.4.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\cos^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cos^{2} (x)$ égal à $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cos^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 4.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ égal à $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos^{2} (x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos^{2} (x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.7

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 5.2.7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.3

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.2.7.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.7.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 5.2.7.4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 5.2.7.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.7.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 5.2.8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.8.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.8.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 5.2.8.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.8.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.8.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.8.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 5.2.8.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.8.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 5.2.8.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 5.2.8.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.8.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = - 1$

Étape 6.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 6.2.4

$x = 2 π - π$

Étape 6.2.5

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 6.2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $\cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 1$

Étape 7.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7.2.4

$x = 2 π - 0$

Étape 7.2.5

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 7.2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

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Étape 9.1

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Consolidez $π + 2 π n$ et $2 π n$ en $π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.3

Consolidez $\frac{π}{2} + π n$ et $π n$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.4

Consolidez $\frac{π n}{2}$ et $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ en $\frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π n}{4}, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.5

Consolidez $\frac{π n}{4}$ et $2 π + 2 π n$ en $\frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π n}{4}$ , pour tout entier $n$