Trigonométrie Exemples

$\cos (2 x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x + \frac{π}{4} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π - π}{4}$

Étape 3.3

Soustrayez $π$ de $π$ .

$2 x = \frac{0}{4}$

Étape 3.4

Divisez $0$ par $4$ .

$2 x = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.1.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 6.1.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4}$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = \frac{7 π}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{7 π - π}{4}$

Étape 6.2.3

Soustrayez $π$ de $7 π$ .

$2 x = \frac{6 π}{4}$

Étape 6.2.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$2 x = \frac{2 (3 π)}{4}$

Étape 6.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 x = \frac{2 (3 π)}{2 (2)}$

Étape 6.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x = \frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 7

Déterminez la période de $\cos (2 x + \frac{π}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 8

La période de la fonction $\cos (2 x + \frac{π}{4})$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$