Trigonométrie Exemples

$\cos (- 2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$- 2 x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$- 2 x = \frac{5 π}{6}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $- 2 x = \frac{5 π}{6}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = \frac{5 π}{6}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{- 2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{- 2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{- 2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{5 π}{6} (- \frac{1}{2})$

Étape 3.3.3

Multipliez $\frac{5 π}{6} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = - \frac{5 π}{12}$

Étape 4

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$- 2 x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$- 2 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 5.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$- 2 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Étape 5.1.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$- 2 x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$- 2 x = \frac{7 π}{6}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = \frac{7 π}{6}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = \frac{7 π}{6}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{- 2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{- 2}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{- 2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{7 π}{6} (- \frac{1}{2})$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $\frac{7 π}{6} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Étape 5.2.3.3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = - \frac{7 π}{12}$

Étape 6

Déterminez la période de $\cos (- 2 x)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $- 2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| - 2 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 2$ et $0$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{5 π}{12}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{5 π}{12} + π$

Étape 7.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Étape 7.3

Associez les fractions.

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Étape 7.3.1

Associez $π$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Étape 7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Étape 7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1

Déplacez $12$ à gauche de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - 5 π}{12}$

Étape 7.4.2

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$\frac{7 π}{12}$

Étape 7.5

Ajoutez $π$ à $- \frac{7 π}{12}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{7 π}{12} + π$

Étape 7.6

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Étape 7.7

Associez les fractions.

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Étape 7.7.1

Associez $π$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Étape 7.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 12 - 7 π}{12}$

Étape 7.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.8.1

Déplacez $12$ à gauche de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - 7 π}{12}$

Étape 7.8.2

Soustrayez $7 π$ de $12 π$ .

$\frac{5 π}{12}$

Étape 7.9

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 8

La période de la fonction $\cos (- 2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$