Trigonométrie Exemples

$8 \sec^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) - 12 = 0$

Étape 1

Remplacez le $8 \sec^{2} (x)$ par $8 (1 + \tan^{2} (x))$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$8 (1 + \tan^{2} (x)) + 4 \tan^{2} (x) - 12 = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 \cdot 1 + 8 \tan^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) - 12 = 0$

Étape 2.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + 8 \tan^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) - 12 = 0$

Étape 3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1

Soustrayez $12$ de $8$ .

$8 \tan^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

Étape 3.2

Additionnez $8 \tan^{2} (x)$ et $4 \tan^{2} (x)$ .

$12 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

Étape 4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$12 \tan^{2} (x) = 4$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $12 \tan^{2} (x) = 4$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $12 \tan^{2} (x) = 4$ par $12$ .

$\frac{12 \tan^{2} (x)}{12} = \frac{4}{12}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \tan^{2} (x)}{12} = \frac{4}{12}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\tan^{2} (x)$ par $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{4}{12}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{4 (1)}{12}$

Étape 5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Étape 5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\tan^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Étape 5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Étape 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 7

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 7.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 7.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 7.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 7.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 7.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 7.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 7.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 7.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 7.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 10.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 10.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{6}$

Étape 10.4

Simplifiez $π + \frac{π}{6}$ .

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Étape 10.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 10.4.2

Associez les fractions.

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Étape 10.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 10.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Étape 10.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Étape 10.4.3.2

Additionnez $6 π$ et $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 10.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 11.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 11.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Étape 11.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 11.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Étape 11.4.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{6}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 11.6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + π$

Étape 11.6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 11.6.3

Associez les fractions.

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Étape 11.6.3.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 11.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 11.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.6.4.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 11.6.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Étape 11.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 11.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Consolidez les solutions.

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Étape 13.1

Consolidez $\frac{π}{6} + π n$ et $\frac{7 π}{6} + π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13.2

Consolidez $\frac{5 π}{6} + π n$ et $\frac{5 π}{6} + π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$