Trigonométrie Exemples

Resolva para x cos(x)csc(x)=2cos(x)
Étape 1
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Simplifiez .
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Étape 1.1.1
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 1.1.2
Associez et .
Étape 2
Multipliez les deux côtés de l’équation par .
Étape 3
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5
Appliquez l’identité d’angle double du sinus.
Étape 6
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 7
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1
Appliquez l’identité d’angle double du sinus.
Étape 7.2
Multipliez par .
Étape 8
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1
Factorisez à partir de .
Étape 8.2
Factorisez à partir de .
Étape 8.3
Factorisez à partir de .
Étape 9
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 10
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 10.1
Définissez égal à .
Étape 10.2
Résolvez pour .
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Étape 10.2.1
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 10.2.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 10.2.3
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 10.2.4
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.4.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 10.2.4.2
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.4.2.1
Associez et .
Étape 10.2.4.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 10.2.4.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.4.3.1
Multipliez par .
Étape 10.2.4.3.2
Soustrayez de .
Étape 10.2.5
Déterminez la période de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.5.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 10.2.5.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 10.2.5.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 10.2.5.4
Divisez par .
Étape 10.2.6
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 11
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Définissez égal à .
Étape 11.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 11.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 11.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 11.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 11.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.2.3.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 11.2.3
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 11.2.4
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.4.1
La valeur exacte de est .
Étape 11.2.5
La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.
Étape 11.2.6
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.6.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 11.2.6.2
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.6.2.1
Associez et .
Étape 11.2.6.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 11.2.6.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.6.3.1
Déplacez à gauche de .
Étape 11.2.6.3.2
Soustrayez de .
Étape 11.2.7
Déterminez la période de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.7.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 11.2.7.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 11.2.7.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 11.2.7.4
Divisez par .
Étape 11.2.8
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 12
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
, pour tout entier
Étape 13
Consolidez et en .
, pour tout entier