Trigonométrie Exemples

$\cos (x) \csc (x) = 2 \cos (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\cos (x) \csc (x)$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} = 2 \cos (x)$

Étape 1.1.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 2 \cos (x)$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos (x) = 2 \sin (x) \cos (x)$

Étape 5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\cos (x) = \sin (2 x)$

Étape 6

Soustrayez $\sin (2 x)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) - \sin (2 x) = 0$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 8

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 8.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{1} (x)$ .

$\cos (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 8.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin (x)) = 0$

Étape 8.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin (x))$ .

$\cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Étape 10

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 10.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 10.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 10.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 10.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 10.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 10.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 10.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 10.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 10.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 10.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Définissez $1 - 2 \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $1 - 2 \sin (x)$ égal à $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Étape 11.2

Résolvez $1 - 2 \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 11.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 11.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 11.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 11.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 11.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 11.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 11.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 11.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.6.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 11.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 11.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 11.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$