Trigonométrie Exemples

$\csc (x) \tan (x) - 2 = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.1

Remettez dans l’ordre $\csc (x)$ et $\tan (x)$ .

$\tan (x) \csc (x) - 2 = 0$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\csc (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - 2 = 0$

Étape 1.1.1.3

Annulez les facteurs communs.

$\frac{1}{\cos (x)} - 2 = 0$

Étape 1.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

Étape 2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\sec (x) = 2$

Étape 3

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (2)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $arcsec (2)$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 5

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$