Trigonométrie Exemples

$\cos (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \csc (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\cos (x) (\tan (x) + \cot (x))$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)) = \csc (x)$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \csc (x)$

Étape 1.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Étape 1.1.3

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 1.1.3.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Étape 1.1.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Étape 1.1.3.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Étape 1.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \csc (x)$

Étape 1.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 5.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 1$

Étape 9

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$