Trigonométrie Exemples

$2 \cos (2 x) - \sqrt{2} = 0$

Étape 1

Ajoutez $\sqrt{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos (2 x) = \sqrt{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = \sqrt{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = \sqrt{2}$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{4}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{4}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Étape 6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 7.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 7.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 7.1.5

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 π}{4}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 π}{4}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Étape 8

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 8.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 9

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , pour tout entier $n$