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Trigonométrie Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 2
Étape 2.1
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 3
Multipliez les deux côtés de l’équation par .
Étape 4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6
Étape 6.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2
Réécrivez l’expression.
Étape 7
Étape 7.1
Élevez à la puissance .
Étape 7.2
Élevez à la puissance .
Étape 7.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 7.4
Additionnez et .
Étape 8
Étape 8.1
Annulez le facteur commun.
Étape 8.2
Réécrivez l’expression.
Étape 9
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 10
Étape 10.1
Déplacez .
Étape 10.2
Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.
Étape 11
Utilisez l’identité d’angle double pour transformer en .
Étape 12
Étape 12.1
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 12.2
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
Étape 12.2.1
Multipliez par .
Étape 12.2.2
Réécrivez comme plus
Étape 12.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 12.3
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 12.3.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 12.3.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 12.4
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 13
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 14
Étape 14.1
Définissez égal à .
Étape 14.2
Résolvez pour .
Étape 14.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 14.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 14.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 14.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 14.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 14.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 14.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 14.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 14.2.2.3.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 14.2.3
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 14.2.4
Simplifiez le côté droit.
Étape 14.2.4.1
La valeur exacte de est .
Étape 14.2.5
La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.
Étape 14.2.6
Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.
Étape 14.2.6.1
Soustrayez de .
Étape 14.2.6.2
L’angle résultant de est positif, inférieur à et coterminal avec .
Étape 14.2.7
Déterminez la période de .
Étape 14.2.7.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 14.2.7.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 14.2.7.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 14.2.7.4
Divisez par .
Étape 14.2.8
Ajoutez à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.
Étape 14.2.8.1
Ajoutez à pour déterminer l’angle positif.
Étape 14.2.8.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 14.2.8.3
Associez les fractions.
Étape 14.2.8.3.1
Associez et .
Étape 14.2.8.3.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 14.2.8.4
Simplifiez le numérateur.
Étape 14.2.8.4.1
Multipliez par .
Étape 14.2.8.4.2
Soustrayez de .
Étape 14.2.8.5
Indiquez les nouveaux angles.
Étape 14.2.9
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 15
Étape 15.1
Définissez égal à .
Étape 15.2
Résolvez pour .
Étape 15.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 15.2.2
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 15.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 15.2.3.1
La valeur exacte de est .
Étape 15.2.4
La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.
Étape 15.2.5
Simplifiez .
Étape 15.2.5.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 15.2.5.2
Associez les fractions.
Étape 15.2.5.2.1
Associez et .
Étape 15.2.5.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 15.2.5.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 15.2.5.3.1
Déplacez à gauche de .
Étape 15.2.5.3.2
Soustrayez de .
Étape 15.2.6
Déterminez la période de .
Étape 15.2.6.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 15.2.6.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 15.2.6.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 15.2.6.4
Divisez par .
Étape 15.2.7
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 16
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
, pour tout entier
Étape 17
Consolidez les réponses.
, pour tout entier