Trigonométrie Exemples

$3 \cot^{2} (x) - 9 = 0$

Étape 1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \cot^{2} (x) = 9$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $3 \cot^{2} (x) = 9$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $3 \cot^{2} (x) = 9$ par $3$ .

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{9}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{9}{3}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\cot^{2} (x)$ par $1$ .

$\cot^{2} (x) = \frac{9}{3}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $9$ par $3$ .

$\cot^{2} (x) = 3$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = \sqrt{3}$ .

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Étape 6.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $arccot (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 6.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{6}$

Étape 6.4

Simplifiez $π + \frac{π}{6}$ .

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Étape 6.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 6.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 6.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Étape 6.4.3.2

Additionnez $6 π$ et $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = - \sqrt{3}$ .

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Étape 7.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $arccot (- \sqrt{3})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.4.1

Ajoutez $2 π$ à $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Étape 7.4.2

L’angle résultant de $\frac{11 π}{6}$ est positif et coterminal avec $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 7.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les solutions.

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Étape 9.1

Consolidez $\frac{π}{6} + π n$ et $\frac{7 π}{6} + π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Consolidez $\frac{5 π}{6} + π n$ et $\frac{11 π}{6} + π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$