Trigonométrie Exemples

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) = \tan (x) + 1$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\tan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) = 1$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.2

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Étape 2.1.3.1

Associez $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Étape 2.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Étape 2.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Étape 2.2.4

Divisez $2 (\sin (x))$ par $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Étape 2.2.5

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Étape 3

Factorisez $2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1$ .

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Étape 3.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 \sin (x) (\tan (x) + 1) - (\tan (x) + 1) = 0$

Étape 3.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $\tan (x) + 1$ .

$(\tan (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $\tan (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\tan (x) + 1$ égal à $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\tan (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 1$

Étape 5.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 5.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.2.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 5.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 5.2.7.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 5.2.7.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 5.2.7.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.7.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 5.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $2 \sin (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 \sin (x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 \sin (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 6.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 6.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 6.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.6.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 6.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\tan (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$