Trigonométrie Exemples

$\log_{7} (x - 5) + \log_{7} (x + 1) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} ((x - 5) (x + 1)) = 1$

Étape 1.2

Développez $(x - 5) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{7} (x (x + 1) - 5 (x + 1)) = 1$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot 1 - 5 (x + 1)) = 1$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot 1 - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{7} (x^{2} + x \cdot 1 - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\log_{7} (x^{2} + x - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\log_{7} (x^{2} + x - 5 x - 5) = 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $x$ .

$\log_{7} (x^{2} - 4 x - 5) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log_{7} (x^{2} - 4 x - 5) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$7^{1} = x^{2} - 4 x - 5$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} - 4 x - 5 = 7^{1}$ .

$x^{2} - 4 x - 5 = 7$

Étape 3.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x - 5 - 7 = 0$

Étape 3.3

Soustrayez $7$ de $- 5$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $x^{2} - 4 x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 3.7

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 6, - 2$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{7} (x - 5) + \log_{7} (x + 1) = 1$ vrai.

$x = 6$