Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - 1$ .

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Étape 2.1

Déplacez $- 1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (x)$ et $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.6

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- (1 - \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.8

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos^{2} (x) = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos^{2} (x) = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{0}{- 2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Étape 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm 0$

Étape 3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 3.4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 3.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.7

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.7.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.7.2

Associez les fractions.

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Étape 3.7.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.7.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.8

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.9

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$