Trigonométrie Exemples

$\sqrt{3 x + 16} = x + 2$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 x + 16}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x + 16}$ comme ${(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 x + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 x + 16)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$3 x + 16 = {(x + 2)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$3 x + 16 = (x + 2) (x + 2)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 16 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 16 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 16 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x + 16 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 x + 16 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x + 16 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$3 x + 16 = x^{2} + 4 x + 4$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 4 = 3 x + 16$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 4 - 3 x = 16$

Étape 3.2.2

Soustrayez $3 x$ de $4 x$ .

$x^{2} + x + 4 = 16$

Étape 3.3

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x + 4 - 16 = 0$

Étape 3.4

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x^{2} + x - 12 = 0$

Étape 3.5

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 3.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 3.7

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.7.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.8

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.8.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 3, - 4$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{3 x + 16} = x + 2$ vrai.

$x = 3$