Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) - 9 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 1

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} - 9 u - 1 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 9$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $81$ et $4$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}, \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Étape 6

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}, \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Étape 7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}$

$\cos (x) = \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}$ .

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Étape 8.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $\frac{9 + \sqrt{85}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$ .

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Étape 9.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{9 - \sqrt{85}}{2})$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\arccos (\frac{9 - \sqrt{85}}{2})$ .

$x = 1.68079021$

Étape 9.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 1.68079021$

Étape 9.4

Résolvez $x$ .

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Étape 9.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.68079021$

Étape 9.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.68079021$ .

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Étape 9.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.68079021$

Étape 9.4.2.2

Soustrayez $1.68079021$ de $6.2831853$ .

$x = 4.60239508$

Étape 9.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.68079021 + 2 π n, 4.60239508 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1.68079021 + 2 π n, 4.60239508 + 2 π n$ , pour tout entier $n$