Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) = \frac{4}{25}$

Étape 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$

Étape 2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4}{25}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{25}}$

Étape 2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{25}}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm \frac{2}{5}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{2}{5}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{2}{5}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}$

Étape 4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{2}{5}$

$\cos (x) = - \frac{2}{5}$

Étape 5

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{2}{5}$ .

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Étape 5.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{2}{5})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\arccos (\frac{2}{5})$ .

$x = 1.15927948$

Étape 5.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 1.15927948$

Étape 5.4

Résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.15927948$

Étape 5.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.15927948$ .

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Étape 5.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.15927948$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $1.15927948$ de $6.2831853$ .

$x = 5.12390582$

Étape 5.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.15927948 + 2 π n, 5.12390582 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{2}{5}$ .

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Étape 6.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{2}{5})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{2}{5})$ .

$x = 1.98231317$

Étape 6.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 1.98231317$

Étape 6.4

Résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.98231317$

Étape 6.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.98231317$ .

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Étape 6.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.98231317$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $1.98231317$ de $6.2831853$ .

$x = 4.30087213$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.98231317 + 2 π n, 4.30087213 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1.15927948 + 2 π n, 5.12390582 + 2 π n, 1.98231317 + 2 π n, 4.30087213 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les solutions.

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Étape 8.1

Consolidez $1.15927948 + 2 π n$ et $4.30087213 + 2 π n$ en $1.15927948 + π n$ .

$x = 1.15927948 + π n, 5.12390582 + 2 π n, 1.98231317 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $5.12390582 + 2 π n$ et $1.98231317 + 2 π n$ en $1.98231317 + π n$ .

$x = 1.15927948 + π n, 1.98231317 + π n$ , pour tout entier $n$