Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 3

Définissez $\cos (x) + \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\cos (x) + \sin (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\cos (x) + \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.2.4

Séparez les fractions.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.2.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 3.2.6

Divisez $0$ par $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 3.2.7

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Étape 3.2.8

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 1$

Étape 3.2.9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 3.2.10

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.10.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 3.2.11

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 3.2.12

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.12.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 3.2.12.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.2.13

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 3.2.13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.13.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.14

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.14.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 3.2.14.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.2.14.3

Associez les fractions.

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Étape 3.2.14.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.2.14.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 3.2.14.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.14.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 3.2.14.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 3.2.14.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.2.15

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\cos (x) - \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cos (x) - \sin (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cos (x) - \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4.2.3

Séparez les fractions.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4.2.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4.2.5

Divisez $- 1$ par $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4.2.6

Séparez les fractions.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 4.2.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 4.2.8

Divisez $0$ par $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 4.2.9

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Étape 4.2.10

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = - 1$

Étape 4.2.11

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.11.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.11.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.11.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.11.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Étape 4.2.12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 4.2.13

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.13.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 4.2.14

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.15

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 4.2.15.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.15.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.15.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.15.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 4.2.15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.15.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 4.2.15.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 4.2.16

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 4.2.16.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.16.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.16.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.17

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$