Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} = 4$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{x} - e^{- x}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $4 (e^{x} - e^{- x})$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 4 e^{x} + 4 (- e^{- x})$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$1 = 4 e^{x} - 4 e^{- x}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$ .

$4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$

Étape 3.2

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$4 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{- 1} = 1$

Étape 3.3

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$4 u - 4 u^{- 1} = 1$

Étape 3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 u - 4 \frac{1}{u} = 1$

Étape 3.4.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{u}$ .

$4 u + \frac{- 4}{u} = 1$

Étape 3.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 u - \frac{4}{u} = 1$

Étape 3.5

Résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 3.5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 3.5.2

Multiplier chaque terme dans $4 u - \frac{4}{u} = 1$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez chaque terme dans $4 u - \frac{4}{u} = 1$ par $u$ .

$4 u \cdot u - \frac{4}{u} u = 1 u$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.2.2.1.1.1

Déplacez $u$ .

$4 (u \cdot u) - \frac{4}{u} u = 1 u$

Étape 3.5.2.2.1.1.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$4 u^{2} - \frac{4}{u} u = 1 u$

Étape 3.5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 3.5.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{u}$ dans le numérateur.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Étape 3.5.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Étape 3.5.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 u^{2} - 4 = 1 u$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Multipliez $u$ par $1$ .

$4 u^{2} - 4 = u$

Étape 3.5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.3.1

Soustrayez $u$ des deux côtés de l’équation.

$4 u^{2} - 4 - u = 0$

Étape 3.5.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.3.3

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 1$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 4)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.3.4

Simplifiez

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Étape 3.5.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.3.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ .

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Étape 3.5.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.3.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.3.4.1.3

Additionnez $1$ et $64$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.3.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{8}$

Étape 3.5.3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}, \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Étape 3.6

Remplacez $u$ par $\frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ dans $u = e^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Étape 3.7

Résolvez $\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$

Étape 3.7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Étape 3.7.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.7.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Étape 3.7.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Étape 3.7.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Étape 3.8

Remplacez $u$ par $\frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ dans $u = e^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Étape 3.9

Résolvez $\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

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Étape 3.9.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Étape 3.9.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$

Étape 3.9.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.9.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Aucune solution

Étape 3.10

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Forme décimale :

$x = 0.12467674 \dots$