Trigonométrie Exemples

$4 \tan (x) \sin (x) - 3 \tan (x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) - 3 \tan (x) = 0$

Étape 1.1.2

Associez $4$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - 3 \tan (x) = 0$

Étape 1.1.3

Multipliez $\frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Étape 1.1.3.1

Associez $\frac{4 \sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Étape 1.1.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Étape 1.1.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Étape 1.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Étape 1.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Étape 1.1.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 3 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.1.5

Associez $- 3$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{4 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{4 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{4 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.2.4

Divisez $4 (\sin (x))$ par $1$ .

$4 (\sin (x)) \tan (x) - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.2.5

Séparez les fractions.

$4 \sin (x) \tan (x) - (\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Étape 1.2.6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$4 \sin (x) \tan (x) - (\frac{3}{1} \cdot \tan (x)) = 0$

Étape 1.2.7

Divisez $3$ par $1$ .

$4 \sin (x) \tan (x) - (3 \tan (x)) = 0$

Étape 1.2.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 \sin (x) \tan (x) - 3 \tan (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $4 \sin (x) \tan (x) - 3 \tan (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $4 \sin (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) (4 \sin (x)) - 3 \tan (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $- 3 \tan (x)$ .

$\tan (x) (4 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 3 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan (x) (4 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 3$ .

$\tan (x) (4 \sin (x) - 3) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) = 0$

$4 \sin (x) - 3 = 0$

Étape 4

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $4 \sin (x) - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $4 \sin (x) - 3$ égal à $0$ .

$4 \sin (x) - 3 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $4 \sin (x) - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \sin (x) = 3$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 \sin (x) = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin (x) = 3$ par $4$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{3}{4}$

Étape 5.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{3}{4})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$x = 0.84806207$

Étape 5.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.84806207$

Étape 5.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.6.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.84806207$

Étape 5.2.6.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.84806207$

Étape 5.2.6.3

Soustrayez $0.84806207$ de $3.14159265$ .

$x = 2.29353057$

Étape 5.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.84806207 + 2 π n, 2.29353057 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\tan (x) (4 \sin (x) - 3) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n, 0.84806207 + 2 π n, 2.29353057 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez $π n$ et $π + π n$ en $π n$ .

$x = π n, 0.84806207 + 2 π n, 2.29353057 + 2 π n$ , pour tout entier $n$