Trigonométrie Exemples

$3 - \sin (x) = \cos (2 x)$

Étape 1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$3 - \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Étape 2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 3$

Étape 3

Ajoutez $2 \sin^{2} (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 1 - 3$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = - 2$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$- (u) + 2 {(u)}^{2} = - 2$

Étape 5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- u + 2 u^{2} + 2 = 0$

Étape 5.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 1$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 5.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.1.3

Soustrayez $16$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.1.4

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Étape 5.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Étape 5.7

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Étape 5.8

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Étape 5.9

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$ .

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Étape 5.9.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 + i \sqrt{15}}{4})$

Étape 5.9.2

Le sinus inverse de $\arcsin (\frac{1 + i \sqrt{15}}{4})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.10

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$ .

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Étape 5.10.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 - i \sqrt{15}}{4})$

Étape 5.10.2

Le sinus inverse de $\arcsin (\frac{1 - i \sqrt{15}}{4})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.11

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution