Trigonométrie Exemples

$3 \tan^{3} (x) + 3 \tan^{2} (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Étape 1

Factorisez $3 \tan^{3} (x) + 3 \tan^{2} (x) - \tan (x) - 1$ .

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Étape 1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$3 \tan^{3} (x) + 3 \tan^{2} (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 \tan^{2} (x) (\tan (x) + 1) - (\tan (x) + 1) = 0$

Étape 1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $\tan (x) + 1$ .

$(\tan (x) + 1) (3 \tan^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $\tan (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\tan (x) + 1$ égal à $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\tan (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 1$

Étape 3.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 3.2.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 3.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.7.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 3.2.7.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 3.2.7.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 3.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.7.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 3.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 3.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $3 \tan^{2} (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $3 \tan^{2} (x) - 1$ égal à $0$ .

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \tan^{2} (x) = 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 \tan^{2} (x) = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \tan^{2} (x) = 1$ par $3$ .

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $\tan^{2} (x)$ par $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Étape 4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 4.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 4.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 4.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 4.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 4.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 4.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.7

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 4.2.7.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 4.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 4.2.7.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{6}$

Étape 4.2.7.4

Simplifiez $π + \frac{π}{6}$ .

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Étape 4.2.7.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 4.2.7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.7.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 4.2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Étape 4.2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.7.4.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Étape 4.2.7.4.3.2

Additionnez $6 π$ et $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 4.2.7.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 4.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.7.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.7.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.8

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 4.2.8.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 4.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 4.2.8.3

$x = - \frac{π}{6} - π$

Étape 4.2.8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.8.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Étape 4.2.8.4.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{6}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 4.2.8.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 4.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.8.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.8.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.8.6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + π$

Étape 4.2.8.6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 4.2.8.6.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.6.3.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 4.2.8.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 4.2.8.6.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.6.4.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 4.2.8.6.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Étape 4.2.8.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 4.2.8.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.10

Consolidez les solutions.

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Étape 4.2.10.1

Consolidez $\frac{π}{6} + π n$ et $\frac{7 π}{6} + π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.10.2

Consolidez $\frac{5 π}{6} + π n$ et $\frac{5 π}{6} + π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\tan (x) + 1) (3 \tan^{2} (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$