Trigonométrie Exemples

$\cos (112.5 °)$

Étape 1

Réécrivez $112.5 °$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{225}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$

Étape 3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$

Étape 4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Étape 4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Forme décimale :

$- 0.38268343 \dots$