Trigonométrie Exemples

$\sqrt{3} \sin (x) = \cos (x)$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 2

Séparez les fractions.

$\frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 4

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3} \tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{3} \tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} \tan (x) = 1$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} \tan (x) = 1$ par $\sqrt{3}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} \tan (x) = 1$ par $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 6.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 6.3.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 6.3.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 6.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 6.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 7

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

La valeur exacte de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 9

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{6}$

Étape 10

Simplifiez $π + \frac{π}{6}$ .

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Étape 10.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 10.2

Associez les fractions.

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Étape 10.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 10.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Étape 10.3.2

Additionnez $6 π$ et $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 11

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 11.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 11.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 11.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 11.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 12

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$