Trigonométrie Exemples

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)} = - \cos (x)$

Étape 1

Remplacez le $- \sin^{2} (x)$ par $- (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - (1 - \cos^{2} (x)) = - \cos (x)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Étape 2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Étape 2.3

Multipliez $- - \cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Étape 2.3.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Étape 3

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Étape 3.2

Additionnez $0$ et $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Étape 4

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} = - (u)$

Étape 5

Ajoutez $u$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} + u = 0$

Étape 6

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} + u$ .

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Étape 6.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$u \cdot u + u = 0$

Étape 6.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u \cdot u + u = 0$

Étape 6.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

Étape 6.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$u (u + 1) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 8

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 9

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 9.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (u + 1) = 0$ vraie.

$u = 0, - 1$

Étape 11

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 0, - 1$

Étape 12

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = 0$ .

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Étape 13.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 13.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 13.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 13.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 13.4.2

Associez les fractions.

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Étape 13.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 13.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 13.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 13.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 1$ .

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Étape 14.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 14.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 14.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 14.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 14.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 14.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 14.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$