Trigonométrie Exemples

$2 + 2 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x)$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2$

Étape 2

Élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sin (x))}^{2} = {(4 \cos^{2} (x) - 2)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sin (x)$ .

$2^{2} \sin^{2} (x) = {(4 \cos^{2} (x) - 2)}^{2}$

Étape 3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 \sin^{2} (x) = {(4 \cos^{2} (x) - 2)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez ${(4 \cos^{2} (x) - 2)}^{2}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez ${(4 \cos^{2} (x) - 2)}^{2}$ comme $(4 \cos^{2} (x) - 2) (4 \cos^{2} (x) - 2)$ .

$4 \sin^{2} (x) = (4 \cos^{2} (x) - 2) (4 \cos^{2} (x) - 2)$

Étape 4.2

Développez $(4 \cos^{2} (x) - 2) (4 \cos^{2} (x) - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x) - 2) - 2 (4 \cos^{2} (x) - 2)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x) - 2)$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cdot 4 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cdot 4 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Étape 4.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cdot 4 {\cos (x)}^{2 + 2} + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Étape 4.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cdot 4 \cos^{4} (x) + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$4 \sin^{2} (x) = 16 \cos^{4} (x) + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$4 \sin^{2} (x) = 16 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Étape 4.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$4 \sin^{2} (x) = 16 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) - 8 \cos^{2} (x) - 2 \cdot - 2$

Étape 4.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 \sin^{2} (x) = 16 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 4$

Étape 4.3.2

Soustrayez $8 \cos^{2} (x)$ de $- 8 \cos^{2} (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) = 16 \cos^{4} (x) - 16 \cos^{2} (x) + 4$

Étape 5

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $16 \cos^{4} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) = - 16 \cos^{2} (x) + 4$

Étape 5.2

Ajoutez $16 \cos^{2} (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 4$

Étape 5.3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) - 4 = 0$

Étape 6

Simplifiez $4 \sin^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) - 4$ .

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Étape 6.1

Déplacez $- 4$ .

$4 \sin^{2} (x) - 4 - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $4 \sin^{2} (x)$ et $- 4$ .

$- 4 + 4 \sin^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 6.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4$ .

$- 4 (1) + 4 \sin^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 6.4

Factorisez $- 4$ à partir de $4 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 (1) - 4 (- \sin^{2} (x)) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 6.5

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 (1) - 4 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 4 (1 - \sin^{2} (x)) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 6.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 4 \cos^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 6.7

Additionnez $- 4 \cos^{2} (x)$ et $16 \cos^{2} (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) = 0$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Réécrivez $\cos^{4} (x)$ comme ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

$12 \cos^{2} (x) - 16 {(\cos^{2} (x))}^{2} = 0$

Étape 7.1.2

Laissez $u = \cos^{2} (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cos^{2} (x)$ par $u$ .

$12 u - 16 u^{2} = 0$

Étape 7.1.3

Factorisez $4 u$ à partir de $12 u - 16 u^{2}$ .

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $4 u$ à partir de $12 u$ .

$4 u (3) - 16 u^{2} = 0$

Étape 7.1.3.2

Factorisez $4 u$ à partir de $- 16 u^{2}$ .

$4 u (3) + 4 u (- 4 u) = 0$

Étape 7.1.3.3

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u (3) + 4 u (- 4 u)$ .

$4 u (3 - 4 u) = 0$

Étape 7.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos^{2} (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) (3 - 4 \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 7.3

Définissez $\cos^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $\cos^{2} (x)$ égal à $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Étape 7.3.2

Résolvez $\cos^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm 0$

Étape 7.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 7.3.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 7.3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 7.3.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 7.3.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 7.3.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.3.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 7.3.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.3.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 7.3.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.2.6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 7.3.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 7.3.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 7.3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.3.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.3.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.4

Définissez $3 - 4 \cos^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $3 - 4 \cos^{2} (x)$ égal à $0$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Étape 7.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 7.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 7.4.2.2.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 7.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Étape 7.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 7.4.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 7.4.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 7.4.2.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.4.2.4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 7.4.2.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.4.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.7

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 7.4.2.7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 7.4.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 7.4.2.7.3

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Étape 7.4.2.7.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 7.4.2.7.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.4.2.7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 7.4.2.7.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.4.2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 7.4.2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.7.4.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Étape 7.4.2.7.4.3.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 7.4.2.7.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 7.4.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.4.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.4.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.4.2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.4.2.7.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.4.2.8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 7.4.2.8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 7.4.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 7.4.2.8.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Étape 7.4.2.8.4

Simplifiez $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 7.4.2.8.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 7.4.2.8.4.2

Associez les fractions.

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Étape 7.4.2.8.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 7.4.2.8.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Étape 7.4.2.8.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.8.4.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Étape 7.4.2.8.4.3.2

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 7.4.2.8.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 7.4.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.4.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.4.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.4.2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.4.2.8.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.4.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.4.2.10

Consolidez les solutions.

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Étape 7.4.2.10.1

Consolidez $\frac{π}{6} + 2 π n$ et $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.4.2.10.2

Consolidez $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ et $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 \cos^{2} (x) (3 - 4 \cos^{2} (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

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Étape 8.1

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Vérifiez chaque solution en la remplaçant dans $2 + 2 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x)$ et en résolvant.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$