Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (- x) - 1)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez $7 (\cos (- x) - 1)$ .

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Étape 1.1.1

Comme $\cos (- x)$ est une fonction paire, réécrivez $\cos (- x)$ comme $\cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (x) - 1)$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) + 7 \cdot - 1$

Étape 1.1.3

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) - 7$

Étape 2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $7 \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) = - 7$

Étape 2.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

Étape 3

Remplacez $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Additionnez $1$ et $7$ .

$8 - \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) = 0$

Étape 4.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

Étape 4.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 \cos (x)$ .

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez $- 7$ comme $1$ plus $- 8$

$- \cos^{2} (x) + (1 - 8) \cos (x) + 8 = 0$

Étape 4.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

Étape 4.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) + 8 (- \cos (x) + 1) = 0$

Étape 4.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- \cos (x) + 1$ .

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 8 = 0$

Étape 4.4

Définissez $- \cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $- \cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $- \cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = - 1$

Étape 4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.4.2.2.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Étape 4.4.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 4.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.4.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 4.4.2.6

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 4.4.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 4.4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.4.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.5

Définissez $\cos (x) + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $\cos (x) + 8$ égal à $0$ .

$\cos (x) + 8 = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez $\cos (x) + 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.5.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = - 8$

Étape 4.5.2.2

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- 8$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Consolidez les réponses.

$x = 2 π n$ , pour tout entier $n$