Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) = 5 (\cos (x) + 1)$

Étape 1

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 5 (\cos (x) + 1)$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \cos^{2} (x) + 1 = 5 (\cos (x) + 1)$

Étape 3

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 5 ((u) + 1)$

Étape 4

Simplifiez $5 (u + 1)$ .

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Étape 4.1

Réécrivez.

$- u^{2} + 1 = 0 + 0 + 5 (u + 1)$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- u^{2} + 1 = 5 (u + 1)$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- u^{2} + 1 = 5 u + 5 \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$- u^{2} + 1 = 5 u + 5$

Étape 5

Soustrayez $5 u$ des deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + 1 - 5 u = 5$

Étape 6

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + 1 - 5 u - 5 = 0$

Étape 7

Soustrayez $5$ de $1$ .

$- u^{2} - 5 u - 4 = 0$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} - 5 u - 4$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- u^{2} - 5 u - 4 = 0$

Étape 8.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 u$ .

$- u^{2} - (5 u) - 4 = 0$

Étape 8.1.3

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$- u^{2} - (5 u) - 1 \cdot 4 = 0$

Étape 8.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} - (5 u)$ .

$- (u^{2} + 5 u) - 1 \cdot 4 = 0$

Étape 8.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} + 5 u) - 1 (4)$ .

$- (u^{2} + 5 u + 4) = 0$

Étape 8.2

Factorisez.

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Étape 8.2.1

Factorisez $u^{2} + 5 u + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 8.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((u + 1) (u + 4)) = 0$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (u + 1) (u + 4) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 4 = 0$

Étape 10

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 10.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 11

Définissez $u + 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 11.1

Définissez $u + 4$ égal à $0$ .

$u + 4 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 4$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (u + 1) (u + 4) = 0$ vraie.

$u = - 1, - 4$

Étape 13

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - 1, - 4$

Étape 14

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = - 4$

Étape 15

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 1$ .

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Étape 15.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 15.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 15.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 15.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 15.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 15.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 15.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 15.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 15.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 15.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 15.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 4$ .

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Étape 16.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- 4$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 17

Indiquez toutes les solutions.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$