Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 3 = 0$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 3 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$u = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 1 \pm i \sqrt{2}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Étape 6

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Étape 7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = 1 + i \sqrt{2}$

$\sin (x) = 1 - i \sqrt{2}$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = 1 + i \sqrt{2}$ .

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Étape 8.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\sin (x) = 1 + i \sqrt{2}$

Étape 8.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1 + i \sqrt{2})$

Étape 8.3

Le sinus inverse de $\arcsin (1 + i \sqrt{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = 1 - i \sqrt{2}$ .

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Étape 9.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\sin (x) = 1 - i \sqrt{2}$

Étape 9.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1 - i \sqrt{2})$

Étape 9.3

Le sinus inverse de $\arcsin (1 - i \sqrt{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution