Trigonométrie Exemples

$(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Développez $(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Multipliez $\cot (x)$ par $1$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 1.2.2

Réécrivez $- 1 \csc (x)$ comme $- \csc (x)$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

Étape 2

Factorisez $\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1$ .

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Étape 2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - (\csc (x) + 1) = 0$

Étape 2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $\csc (x) + 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

$\cot (x) - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\csc (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\csc (x) + 1$ égal à $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\csc (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\csc (x) = - 1$

Étape 4.2.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- 1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $arccsc (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 4.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 4.2.7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 4.2.7.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\cot (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cot (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cot (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot (x) = 1$

Étape 5.2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (1)$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

La valeur exacte de $arccot (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 5.2.4

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 5.2.5

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 5.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 5.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 5.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 5.2.5.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 5.2.6

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.7

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez $\frac{π}{4} + π n$ et $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$