Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{2} = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{6}$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{6}$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{5 π}{6}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = 2 \frac{5 π}{2 (3)}$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{5 π}{6})$

Étape 6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{5 π}{6})$

Étape 6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (2 π - \frac{5 π}{6})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $2 (2 π - \frac{5 π}{6})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6})$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Étape 6.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = 2 \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{2 (3)}$

Étape 6.2.2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2.2.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{3}$

Étape 6.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{3}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{3}$

Étape 7

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 7.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 7.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 8

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{3} + 4 π n, \frac{7 π}{3} + 4 π n$ , pour tout entier $n$