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Trigonométrie Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 2
Étape 2.1
Simplifiez .
Étape 2.1.1
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 2.1.2
Multipliez .
Étape 2.1.2.1
Associez et .
Étape 2.1.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.2.5
Additionnez et .
Étape 3
Multipliez les deux côtés de l’équation par .
Étape 4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5
Étape 5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 7
Étape 7.1
Élevez à la puissance .
Étape 7.2
Élevez à la puissance .
Étape 7.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 7.4
Additionnez et .
Étape 8
Appliquez l’identité pythagoricienne.
Étape 9
Étape 9.1
Annulez le facteur commun.
Étape 9.2
Réécrivez l’expression.
Étape 10
Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.
Étape 11
Étape 11.1
Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.
Étape 11.2
Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.
Étape 11.3
Résolvez pour .
Étape 11.3.1
Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.
Étape 11.3.2
Déplacez tous les termes contenant du côté gauche de l’équation.
Étape 11.3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 11.3.2.2
Soustrayez de .
Étape 11.3.3
Comme , l’équation sera toujours vraie.
Tous les nombres réels
Tous les nombres réels
Étape 11.4
Résolvez pour .
Étape 11.4.1
Déplacez tous les termes contenant du côté gauche de l’équation.
Étape 11.4.1.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 11.4.1.2
Additionnez et .
Étape 11.4.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 11.4.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 11.4.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 11.4.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 11.4.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 11.4.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 11.4.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 11.4.2.3.1
Divisez par .
Étape 11.4.3
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 11.4.4
Simplifiez le côté droit.
Étape 11.4.4.1
La valeur exacte de est .
Étape 11.4.5
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 11.4.6
Simplifiez .
Étape 11.4.6.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 11.4.6.2
Associez les fractions.
Étape 11.4.6.2.1
Associez et .
Étape 11.4.6.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 11.4.6.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 11.4.6.3.1
Multipliez par .
Étape 11.4.6.3.2
Soustrayez de .
Étape 11.4.7
Déterminez la période de .
Étape 11.4.7.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 11.4.7.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 11.4.7.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 11.4.7.4
Divisez par .
Étape 11.4.8
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 12
Consolidez les réponses.
, pour tout entier