Trigonométrie Exemples

$\sec (2 x) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $2 - \sec^{2} (x)$ .

$\sec (2 x) (2 - \sec^{2} (x)) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Simplifiez $\sec (2 x) (2 - \sec^{2} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (2 x) \cdot 2 + \sec (2 x) (- \sec^{2} (x)) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Étape 2.1.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.1.1.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (2 x)$ .

$2 \cdot \sec (2 x) + \sec (2 x) (- \sec^{2} (x)) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Étape 2.1.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \sec (2 x) - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2 - \sec^{2} (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \sec (2 x) - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 \sec (2 x) - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \frac{1}{\cos (2 x)} - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 3.1.1.2

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 3.1.1.3

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 3.1.1.4

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos (2 x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

Étape 3.1.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

Étape 3.1.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

Étape 3.1.1.7

Multipliez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \sec^{2} (x)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x) (\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) \frac{2}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $\cos (2 x)$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 x) \frac{2}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$2 + \cos (2 x) (- \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 - \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $\cos (2 x)$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $- \cos (2 x)$ .

$2 + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.2

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $\cos^{2} (x) \cos (2 x)$ .

$2 + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (2 x) \cos^{2} (x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.3

Annulez le facteur commun.

$2 + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (2 x) \cos^{2} (x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.4

Réécrivez l’expression.

$2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.8

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)} = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.9

Multipliez les deux côtés par $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.1.1

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 3.10.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Étape 3.10.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Étape 3.10.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = (\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Étape 3.10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.10.2.1

Simplifiez $(\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$ .

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Étape 3.10.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.2.1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 1 = ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Étape 3.10.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- 1 = (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Étape 3.10.2.1.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 1 = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Étape 3.10.2.1.1.4

Associez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ et $\cos (2 x)$ .

$- 1 = (\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} - 2) \cos^{2} (x)$

Étape 3.10.2.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$

Étape 3.10.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$

Étape 3.10.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 = \cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x)$

Étape 3.11

Résolvez $x$ .

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Étape 3.11.1

Réécrivez l’équation comme $\cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1$ .

$\cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Étape 3.11.2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Étape 3.11.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Étape 3.11.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.4.1

Simplifiez $- 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.4.1.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.11.4.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Étape 3.11.4.1.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x)) = - 1 - 1$

Étape 3.11.4.1.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))$ .

$- 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = - 1 - 1$

Étape 3.11.4.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 2 \cdot 1 = - 1 - 1$

Étape 3.11.4.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 = - 1 - 1$

Étape 3.11.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.11.5.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$- 2 = - 2$

Étape 3.11.6

Comme $- 2 = - 2$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$