Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) = 1$

Étape 1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \arctan (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{π}{4}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} - \frac{π}{6}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Étape 3.4.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π \cdot 2}{12}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π - 2 π}{12}$

Étape 3.6.3

Soustrayez $2 π$ de $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{12}$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{12}$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{12}$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{π}{12}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (6)}$

Étape 5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 6}$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{6}$

Étape 6

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = π + \frac{π}{4}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 7.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.1.2

Associez les fractions.

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Étape 7.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 7.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 7.1.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{5 π}{4}$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.2

Pour écrire $\frac{5 π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.3

Pour écrire $- \frac{π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2.4.3

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Étape 7.2.4.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Étape 7.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Étape 7.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.6.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - π \cdot 2}{12}$

Étape 7.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - 2 π}{12}$

Étape 7.2.6.3

Soustrayez $2 π$ de $15 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{13 π}{12}$

Étape 7.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

Étape 7.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

Étape 7.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{13 π}{12}$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$x = 2 \frac{13 π}{2 (6)}$

Étape 7.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{13 π}{2 \cdot 6}$

Étape 7.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{13 π}{6}$

Étape 8

Déterminez la période de $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 8.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 2$

Étape 8.5

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 π$

Étape 9

La période de la fonction $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{13 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$