Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3

Réécrivez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{1}{\cos (x)}$ et $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.1.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.2.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 6

Développez $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez les termes opposés dans $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Étape 7.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sec (x) (- \tan (x))$ et $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 7.1.2

Additionnez $- \sec (x) \tan (x)$ et $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 7.1.3

Additionnez $\sec (x) \sec (x)$ et $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Multipliez $\sec (x) \sec (x)$ .

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Étape 7.2.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 7.2.1.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 7.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 7.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 7.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

Étape 7.2.3

Multipliez $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 7.2.3.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Étape 7.2.3.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Étape 7.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

Étape 7.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Étape 8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1$