Trigonométrie Exemples

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 - \tan^{4} (x)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{1 - \tan^{4} (x)}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{1 - \tan^{4} (x)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{1^{2} - \tan^{4} (x)}$

Étape 2.2

Réécrivez $\tan^{4} (x)$ comme ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{1^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \tan^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{(1 + \tan^{2} (x)) (1 - \tan^{2} (x))}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{(1 + \tan^{2} (x)) (1^{2} - \tan^{2} (x))}$

Étape 2.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{(1 + \tan^{2} (x)) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$

Étape 2.5

Réorganisez les termes.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{(\tan^{2} (x) + 1) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$

Étape 2.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1 + \tan (x)$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \tan (x)}{\sec^{2} (x) (1 - \tan (x))}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $1 - \tan (x)$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \tan (x)}{\sec^{2} (x) (1 - \tan (x))}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Étape 3.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

Étape 4

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

Étape 5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

${(1 \cos (x))}^{2}$

Étape 6

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x)$