Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{1 - \cos (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)}$ par $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.3

Multipliez $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.3.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.3.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.4

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 0 + \cos^{2} (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$