Trigonométrie Exemples

${(\cos (x) + \cos (y))}^{2} + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\cos (x) + \cos (y))}^{2}$ comme $(\cos (x) + \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ .

$(\cos (x) + \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y)) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.2

Développez $(\cos (x) + \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) (\cos (x) + \cos (y)) + \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.3.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $\cos (y) \cos (y)$ .

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Étape 1.3.1.2.1

Élevez $\cos (y)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos^{1} (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.3.1.2.2

Élevez $\cos (y)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos^{1} (y) \cos^{1} (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + {\cos (y)}^{1 + 1} + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos^{2} (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.3.2

Réorganisez les facteurs de $\cos (y) \cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.3.3

Additionnez $\cos (x) \cos (y)$ et $\cos (x) \cos (y)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez ${(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$ comme $(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) - \sin (y))$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) - \sin (y))$

Étape 1.5

Développez $(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) - \sin (y))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin (x) (\sin (x) - \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) - \sin (y))$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) - \sin (y))$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

Étape 1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 1.6.1.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

Étape 1.6.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

Étape 1.6.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

Étape 1.6.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

Étape 1.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $- \sin (y) (- \sin (y))$ .

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Étape 1.6.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + 1 \sin (y) \sin (y)$

Étape 1.6.1.3.2

Multipliez $\sin (y)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + \sin (y) \sin (y)$

Étape 1.6.1.3.3

Élevez $\sin (y)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + \sin^{1} (y) \sin (y)$

Étape 1.6.1.3.4

Élevez $\sin (y)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + \sin^{1} (y) \sin^{1} (y)$

Étape 1.6.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + {\sin (y)}^{1 + 1}$

Étape 1.6.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + \sin^{2} (y)$

Étape 1.6.2

Réorganisez les facteurs de $- \sin (y) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

Étape 1.6.3

Soustrayez $\sin (x) \sin (y)$ de $- \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

Étape 2

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

Étape 3

Réorganisez les termes.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

Étape 5

Déplacez $\sin^{2} (y)$ .

$1 + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y)$

Étape 6

Réorganisez les termes.

$1 + 2 \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y)$

Étape 7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 + 2 \cos (x) \cos (y) + 1 - 2 \sin (x) \sin (y)$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \cos (x) \cos (y) + 2 - 2 \sin (x) \sin (y)$