Trigonométrie Exemples

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2} + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 - \cos (x))}^{2}$ comme $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.2

Développez $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.3.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.3.1.4.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.3.2

Soustrayez $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.4

Réécrivez $1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$ en forme factorisée.

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Étape 1.4.1

Réorganisez les termes.

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.4.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 - 2 \cos (x) + 1}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.4.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 \cos (x)$ .

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Étape 1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.4.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ .

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{1 - \cos (x)}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $1 - \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{1 - \cos (x)}$

Étape 2.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$