Trigonométrie Exemples

${(1 - i)}^{7}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{7} + 7 \cdot 1^{6} (- i) + 21 \cdot 1^{5} {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 7 \cdot 1^{6} (- i) + 21 \cdot 1^{5} {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 7 \cdot 1 (- i) + 21 \cdot 1^{5} {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$1 + 7 (- i) + 21 \cdot 1^{5} {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$1 - 7 i + 21 \cdot 1^{5} {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 7 i + 21 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.6

Multipliez $21$ par $1$ .

$1 - 7 i + 21 {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 7 i + 21 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 7 i + 21 (1 i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.9

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$1 - 7 i + 21 i^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 i + 21 \cdot - 1 + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.11

Multipliez $21$ par $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 7 i - 21 + 35 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.13

Multipliez $35$ par $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.14

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 (- i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.16

Factorisez $i^{2}$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 (- (i^{2} \cdot i)) + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.17

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 (- (- 1 \cdot i)) + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.18

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 (- - i) + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 (1 i) + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.20

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.21

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 \cdot 1 {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.22

Multipliez $35$ par $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.23

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.24

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 (1 i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.25

Multipliez $i^{4}$ par $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 i^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.26

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.26.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 {(i^{2})}^{2} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.26.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 {(- 1)}^{2} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.26.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 \cdot 1 + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.27

Multipliez $35$ par $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.28

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 \cdot 1 {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.29

Multipliez $21$ par $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.30

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 ({(- 1)}^{5} i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.31

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 (- i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.32

Factorisez $i^{4}$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 (- (i^{4} i)) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.33

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.33.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 (- ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.33.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 (- ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.33.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 (- (1 i)) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.34

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 (- i) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.35

Multipliez $- 1$ par $21$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.36

Multipliez $7$ par $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.37

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 ({(- 1)}^{6} i^{6}) + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.38

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 (1 i^{6}) + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.39

Multipliez $i^{6}$ par $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 i^{6} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.40

Factorisez $i^{4}$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 (i^{4} i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.41

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.41.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.41.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.41.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 (1 i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.42

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 i^{2} + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.43

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 \cdot - 1 + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.44

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 + {(- i)}^{7}$

Étape 2.1.45

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 + {(- 1)}^{7} i^{7}$

Étape 2.1.46

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - i^{7}$

Étape 2.1.47

Réécrivez $i^{7}$ comme $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

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Étape 2.1.47.1

Factorisez $i^{4}$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - (i^{4} i^{3})$

Étape 2.1.47.2

Factorisez $i^{2}$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

Étape 2.1.48

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.48.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Étape 2.1.48.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Étape 2.1.48.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - (1 (i^{2} \cdot i))$

Étape 2.1.49

Multipliez $i^{2} \cdot i$ par $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - (i^{2} \cdot i)$

Étape 2.1.50

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - (- 1 \cdot i)$

Étape 2.1.51

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - - i$

Étape 2.1.52

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 + 1 i$

Étape 2.1.53

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 + i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $21$ de $1$ .

$- 20 - 7 i + 35 i + 35 - 21 i - 7 + i$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 20$ et $35$ .

$15 - 7 i + 35 i - 21 i - 7 + i$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $7$ de $15$ .

$8 - 7 i + 35 i - 21 i + i$

Étape 2.2.3

Additionnez $- 7 i$ et $35 i$ .

$8 + 28 i - 21 i + i$

Étape 2.2.4

Soustrayez $21 i$ de $28 i$ .

$8 + 7 i + i$

Étape 2.2.5

Additionnez $7 i$ et $i$ .

$8 + 8 i$