Trigonométrie Exemples

{(1 + i)}^{6}

${(1 + i)}^{6}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.3

Multipliez

6

$6$ par

1

$1$ .

1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.5

Multipliez

15

$15$ par

1

$1$ .

1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.6

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.7

Multipliez

15

$15$ par

- 1

$- 1$ .

1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.9

Multipliez

20

$20$ par

1

$1$ .

1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.10

Factorisez

i^{2}

$i^{2}$ .

1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.11

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.12

Réécrivez

- 1 i

$- 1 i$ comme

- i

$- i$ .

1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.13

Multipliez

- 1

$- 1$ par

20

$20$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.15

Multipliez

15

$15$ par

1

$1$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.16

Réécrivez

i^{4}

$i^{4}$ comme

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.16.1

Réécrivez

i^{4}

$i^{4}$ comme

{(i^{2})}^{2}

${(i^{2})}^{2}$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.16.2

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.16.3

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.17

Multipliez

15

$15$ par

1

$1$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.18

Multipliez

6

$6$ par

1

$1$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.19

Factorisez

i^{4}

$i^{4}$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}$

Étape 2.1.20

Réécrivez

i^{4}

$i^{4}$ comme

1

$1$ .

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Étape 2.1.20.1

Réécrivez

i^{4}

$i^{4}$ comme

{(i^{2})}^{2}

${(i^{2})}^{2}$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Étape 2.1.20.2

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Étape 2.1.20.3

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

Étape 2.1.21

Multipliez

i

$i$ par

1

$1$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}$

Étape 2.1.22

Factorisez

i^{4}

$i^{4}$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}$

Étape 2.1.23

Réécrivez

i^{4}

$i^{4}$ comme

1

$1$ .

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Étape 2.1.23.1

Réécrivez

i^{4}

$i^{4}$ comme

{(i^{2})}^{2}

${(i^{2})}^{2}$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Étape 2.1.23.2

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Étape 2.1.23.3

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

Étape 2.1.24

Multipliez

i^{2}

$i^{2}$ par

1

$1$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}$

Étape 2.1.25

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez

15

$15$ de

1

$1$ .

- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1

$- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez

- 14

$- 14$ et

15

$15$ .

1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1

$1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez

1

$1$ de

1

$1$ .

0 + 6 i - 20 i + 6 i

$0 + 6 i - 20 i + 6 i$

Étape 2.2.2.3

Additionnez

0

$0$ et

6 i

$6 i$ .

6 i - 20 i + 6 i

$6 i - 20 i + 6 i$

6 i - 20 i + 6 i

$6 i - 20 i + 6 i$

Étape 2.2.3

Soustrayez

20 i

$20 i$ de

6 i

$6 i$ .

- 14 i + 6 i

$- 14 i + 6 i$

Étape 2.2.4

Additionnez

- 14 i

$- 14 i$ et

6 i

$6 i$ .

- 8 i

$- 8 i$

- 8 i

$- 8 i$

- 8 i

$- 8 i$