Trigonométrie Exemples

${(1 + i)}^{5}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.5

Multipliez $10$ par $1$ .

$1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.7

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.9

Multipliez $10$ par $1$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.10

Factorisez $i^{2}$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.12

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.13

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.14

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.15

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.15.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Étape 2.1.15.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Étape 2.1.15.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}$

Étape 2.1.16

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}$

Étape 2.1.17

Factorisez $i^{4}$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i$

Étape 2.1.18

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.18.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i$

Étape 2.1.18.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i$

Étape 2.1.18.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i$

Étape 2.1.19

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $10$ de $1$ .

$- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 9$ et $5$ .

$- 4 + 5 i - 10 i + i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $10 i$ de $5 i$ .

$- 4 - 5 i + i$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 5 i$ et $i$ .

$- 4 - 4 i$