Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + (1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.2

Développez $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) - \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) - \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) - \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) - \sin (x) - \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 0 - \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 5.5

Additionnez $\cos^{2} (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (2 \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (2 \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$