Trigonométrie Exemples

$\frac{i}{3 - 2 i} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{i}{3 - 2 i}$ par le conjugué de $3 - 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{i}{3 - 2 i} \cdot \frac{3 + 2 i}{3 + 2 i} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2

Multipliez.

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{i (3 + 2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i \cdot 3 + i (2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$\frac{3 \cdot i + i (2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $i (2 i)$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \cdot i + 2 (i^{1} i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \cdot i + 2 (i^{1} i^{1})}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \cdot i + 2 i^{1 + 1}}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \cdot i + 2 i^{2}}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 i + 2 \cdot - 1}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 i - 2}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.2.5

Remettez dans l’ordre $3 i$ et $- 2$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Développez $(3 - 2 i) (3 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 + 3 i}{3 (3 + 2 i) - 2 i (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 + 3 i}{3 \cdot 3 + 3 (2 i) - 2 i (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 + 3 i}{3 \cdot 3 + 3 (2 i) - 2 i \cdot 3 - 2 i (2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 3 (2 i) - 2 i \cdot 3 - 2 i (2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 2 i \cdot 3 - 2 i (2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 6 i - 2 i (2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 i i} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 (i^{1} i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 (i^{1} i^{1})} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 i^{1 + 1}} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 i^{2}} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.2.9

Soustrayez $6 i$ de $6 i$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 0 - 4 i^{2}} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 - 4 i^{2}} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 - 4 \cdot - 1} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 4} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.2.3.4

Additionnez $9$ et $4$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{13} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.3

Divisez la fraction $\frac{- 2 + 3 i}{13}$ en deux fractions.

$\frac{- 2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Étape 1.5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 i}{3 + 8 i}$ par le conjugué de $3 + 8 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - (\frac{2 i}{3 + 8 i} \cdot \frac{3 - 8 i}{3 - 8 i})$

Étape 1.6

Multipliez.

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Étape 1.6.1

Associez.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{2 i (3 - 8 i)}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{2 i \cdot 3 + 2 i (- 8 i)}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i + 2 i (- 8 i)}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.2.3

Multipliez $2 i (- 8 i)$ .

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Étape 1.6.2.3.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i - 16 i i}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i - 16 (i^{1} i)}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.2.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i - 16 (i^{1} i^{1})}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i - 16 i^{1 + 1}}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i - 16 i^{2}}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i - 16 \cdot - 1}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.2.4.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i + 16}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.2.5

Remettez dans l’ordre $6 i$ et $16$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.3.1

Développez $(3 + 8 i) (3 - 8 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{3 (3 - 8 i) + 8 i (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 8 i) + 8 i (3 - 8 i)}$

Étape 1.6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 8 i) + 8 i \cdot 3 + 8 i (- 8 i)}$

Étape 1.6.3.2

Simplifiez

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Étape 1.6.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 + 3 (- 8 i) + 8 i \cdot 3 + 8 i (- 8 i)}$

Étape 1.6.3.2.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 8 i \cdot 3 + 8 i (- 8 i)}$

Étape 1.6.3.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 24 i + 8 i (- 8 i)}$

Étape 1.6.3.2.4

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 24 i - 64 i i}$

Étape 1.6.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 24 i - 64 (i^{1} i)}$

Étape 1.6.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 24 i - 64 (i^{1} i^{1})}$

Étape 1.6.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 24 i - 64 i^{1 + 1}}$

Étape 1.6.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 24 i - 64 i^{2}}$

Étape 1.6.3.2.9

Additionnez $- 24 i$ et $24 i$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 + 0 - 64 i^{2}}$

Étape 1.6.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 64 i^{2}}$

Étape 1.6.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 64 \cdot - 1}$

Étape 1.6.3.3.2

Multipliez $- 64$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 + 64}$

Étape 1.6.3.4

Additionnez $9$ et $64$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{73}$

Étape 1.7

Divisez la fraction $\frac{16 + 6 i}{73}$ en deux fractions.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - (\frac{16}{73} + \frac{6 i}{73})$

Étape 1.8

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16}{73} - \frac{6 i}{73}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{2}{13}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{73}{73}$ .

$- \frac{2}{13} \cdot \frac{73}{73} - \frac{16}{73} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{16}{73}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{2}{13} \cdot \frac{73}{73} - \frac{16}{73} \cdot \frac{13}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $949$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{13}$ par $\frac{73}{73}$ .

$- \frac{2 \cdot 73}{13 \cdot 73} - \frac{16}{73} \cdot \frac{13}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Étape 4.2

Multipliez $13$ par $73$ .

$- \frac{2 \cdot 73}{949} - \frac{16}{73} \cdot \frac{13}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{16}{73}$ par $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{2 \cdot 73}{949} - \frac{16 \cdot 13}{73 \cdot 13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Étape 4.4

Multipliez $73$ par $13$ .

$- \frac{2 \cdot 73}{949} - \frac{16 \cdot 13}{949} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 \cdot 73 - 16 \cdot 13}{949} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 2$ par $73$ .

$\frac{- 146 - 16 \cdot 13}{949} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Étape 6.2

Multipliez $- 16$ par $13$ .

$\frac{- 146 - 208}{949} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Étape 6.3

Soustrayez $208$ de $- 146$ .

$\frac{- 354}{949} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Étape 8

Pour écrire $\frac{3 i}{13}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{73}{73}$ .

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i}{13} \cdot \frac{73}{73} - \frac{6 i}{73}$

Étape 9

Pour écrire $- \frac{6 i}{73}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i}{13} \cdot \frac{73}{73} - \frac{6 i}{73} \cdot \frac{13}{13}$

Étape 10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $949$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{3 i}{13}$ par $\frac{73}{73}$ .

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i \cdot 73}{13 \cdot 73} - \frac{6 i}{73} \cdot \frac{13}{13}$

Étape 10.2

Multipliez $13$ par $73$ .

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i \cdot 73}{949} - \frac{6 i}{73} \cdot \frac{13}{13}$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{6 i}{73}$ par $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i \cdot 73}{949} - \frac{6 i \cdot 13}{73 \cdot 13}$

Étape 10.4

Multipliez $73$ par $13$ .

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i \cdot 73}{949} - \frac{6 i \cdot 13}{949}$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{354}{949} + \frac{141 i}{949}$