Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (112.5)}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

Étape 1

Évaluez $\tan (112.5)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\tan (112.5)$ est $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez $112.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (\frac{225}{2})}$

Étape 2.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Étape 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Étape 2.1.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$ .

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Étape 2.1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.6

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.7

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.12

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})}^{2}}$

Étape 2.1.4.13

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.14

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.15

Simplifiez

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.16

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.17

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.17.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.17.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.18

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.19.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19.5

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} + 2$ et $2$ .

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Étape 2.1.4.19.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19.5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.19.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.19.5.4.4

Divisez $\sqrt{2} + 1$ par $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})}^{2}}$

Étape 2.1.4.20

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.4.21

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}^{2}}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2})}$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 2.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Étape 2.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Étape 2.5

Réécrivez ${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ comme $3 + 2 \sqrt{2}$ .

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ comme ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

Étape 2.5.5

Simplifiez

$\frac{- 2.41421356}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

Étape 2.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2.41421356}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

Étape 2.7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

Étape 2.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Étape 2.9

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Étape 3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Étape 4

Multipliez $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}})$

Étape 5

Multipliez $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})}$

Étape 6

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 4}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $- 2 + 2 \sqrt{2}$ et $- 4$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 4}$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $- 2 + 2 \sqrt{2}$ et $- 2$ .

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Étape 9.1

Factorisez $2$ à partir de $1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 2}$

Étape 9.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})))$

Étape 10

Réécrivez $- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ comme $- (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ .

$- - (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$

Étape 11

Multipliez $0.60355339$ par $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$- (- 1 \cdot 0.5)$

Étape 12

Multipliez $- (- 1 \cdot 0.5)$ .

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $0.5$ .

$- - 0.5$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.5$ .

$0.5$