Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (4 x) - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (4 x) = 1$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sin (4 x) = \pm \sqrt{1}$

Étape 3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (4 x) = \pm 1$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (4 x) = 1$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (4 x) = - 1$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (4 x) = 1, - 1$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (4 x) = 1$

$\sin (4 x) = - 1$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\sin (4 x) = 1$ .

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Étape 6.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$4 x = \arcsin (1)$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Étape 6.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Étape 6.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$4 x = π - \frac{π}{2}$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Simplifiez

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Étape 6.5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.5.1.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.5.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 2$ .

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Étape 6.5.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $2$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 6.5.1.4.2

Soustrayez $π$ de $2 \cdot π$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 6.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 6.5.2.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 6.5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Étape 6.6

Déterminez la période de $\sin (4 x)$ .

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Étape 6.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.6.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Étape 6.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 6.6.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 6.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 6.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 6.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 6.7

La période de la fonction $\sin (4 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\sin (4 x) = - 1$ .

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Étape 7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$4 x = \arcsin (- 1)$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$4 x = - \frac{π}{2}$

Étape 7.3

Divisez chaque terme dans $4 x = - \frac{π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - \frac{π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Étape 7.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 7.3.3.2

Multipliez $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 7.3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

Étape 7.3.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Étape 7.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 7.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$4 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 7.5.3

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{3 π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{3 π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Étape 7.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Étape 7.5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Étape 7.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 7.5.3.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.3.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Étape 7.5.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Étape 7.6

Déterminez la période de $\sin (4 x)$ .

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Étape 7.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.6.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Étape 7.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 7.6.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 7.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 7.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 7.7

Ajoutez $\frac{π}{2}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.7.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ à $- \frac{π}{8}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{8} + \frac{π}{2}$

Étape 7.7.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8}$

Étape 7.7.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.7.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π}{8}$

Étape 7.7.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{8} - \frac{π}{8}$

Étape 7.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{8}$

Étape 7.7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.7.5.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{8}$

Étape 7.7.5.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{8}$

Étape 7.7.6

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{8}$

Étape 7.8

La période de la fonction $\sin (4 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , pour tout entier $n$