Trigonométrie Exemples

$\sin (2 x) + \cos (2 x) = 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (2 x) + \cos (2 x) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (2 x) - 1 = 0$

Étape 2.1.2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 0 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $2 \sin (x) \cos (x)$ et $0$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x))$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 5

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 5.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\cos (x) - \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $\cos (x) - \sin (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x) - \sin (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.3

Séparez les fractions.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.5

Divisez $- 1$ par $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.6

Séparez les fractions.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 6.2.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 6.2.8

Divisez $0$ par $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 6.2.9

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Étape 6.2.10

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = - 1$

Étape 6.2.11

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.11.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.11.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.11.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.11.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.11.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.11.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Étape 6.2.12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 6.2.13

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.13.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 6.2.14

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.15

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.15.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.15.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.15.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.15.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 6.2.15.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.15.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 6.2.15.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 6.2.16

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.16.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.2.16.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 6.2.16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 6.2.16.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6.2.17

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $\frac{π}{4} + π n$ et $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$