Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{π}{24})$

Étape 1

Réécrivez $\frac{π}{24}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{12}}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{12})}{2}}$

Étape 3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{12})}{2}}$

Étape 4

Déterminez la valeur exacte de $\cos (\frac{π}{12})$ en utilisant les identités de l’addition et de la différence.

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Étape 4.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})}{2}}$

Étape 4.2

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

Étape 4.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

Étape 4.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 4.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

Étape 4.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

Étape 4.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

Étape 4.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

Étape 4.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{2}}$

Étape 4.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}}{2}}$

Étape 4.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Étape 5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$ .

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Étape 5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{4}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$

Étape 5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$ comme $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

Étape 5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.6.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Étape 5.6.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 5.7

Multipliez $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.8.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 5.8.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 5.8.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 5.8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.8.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.8.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.8.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.8.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.8.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.8.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.8.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.8.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 5.8.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

Forme décimale :

$0.99144486 \dots$